第六节 极限存在准则、两个重要极限
教学目的：1 使学生掌握极限存在的两个准则；并会利用它们求极限；
2使学生掌握利用两个重要极限求极限的方法；
教学重点：利用两个重要极限求极限
教学过程：
一、讲授新课：
准则I：如果数列 满足下列条件：
(i)对 ;
(ii) 那么，数列 的极限存在，且 。
证明：因为 ，所以对 ，当 时，有 ，即
，对 ，当 时，有 ，即 ，又因为 ，所以当 时，有 ，
即有： ，即 ，所以 。
准则I′如果函数 满足下列条件：
(i)当 时，有 。
(ii)当 时，有 。
那么当 时， 的极限存在，且等于 。
第一个重要极限：
作为准则I′的应用，下面将证明第一个重要极限： 。
证明：作单位圆，如下图：
设 为圆心角 ，并设 见图不难发现： ，即： ，即 ，
(因为 ，所以上不等式不改变方向)
当 改变符号时， 及1的值均不变，故对满足 的一切
，有 。
又因为 ，
所以 而 ，证毕。
【例1】 。
【例2】 。
【例3】 。
【例4】 。
准则Ⅱ：单调有界数列必有极限
如果数列 满足： ，就称之为单调增加数列;若满足： ，就称之为单调减少数列;同理亦有严格单增或单减，以上通称为单减数列和严格单减数列。
如果 ，使得： ，就称数列 为有上界;若 ，使得： ，就称 有下界。
准则Ⅱ′：单调上升，且有上界的数列必有极限。
准则Ⅱ″: 单调下降，且有下界的数列必有极限。
注1：由前已知，有界数列未必有极限，若加单调性，就有极限。
2：准则Ⅱ，Ⅱ′，Ⅱ″可推广到函数情形中去，在此不一一陈述了。
第二个重要极限：
作为准则Ⅱ的一个应用，下面来证明极限 是不存在的。
先考虑 取正整数时的情形： 对于 ，有不等式： ，即： ，
即： (i)现令 ，显然 ，因为 将其代入，所以 ，所以 为单调数列。
(ii)又令 ， 所以 ，
即对 ， 又对 所以{ }是有界的。
由准则Ⅱ或Ⅱ′知 存在，并使用 来表示，即
注 1：关于此极限存在性的证明，书上有不同的方法，希望同学自己看!
2：我们可证明： ，具体在此不证明了，书上也有，由证明过程知： 。
3：指数函数 及自然对数 中的底就是这个常数 。
【例1】 【例2】 【例3】 【例4】 二、课堂练习：
三、布置作业：
用文字记载一个星期来的自己的思想、学习、生活情况的文字记录。
它有别于“流水账”，日记，在于流水账是有什么就记录什么，不需要作任何修饰和认识的升华，而且内容不限，一周之内可以记录您每一天的任何事情。而周记就是：每周一次，并且对自己的生活学习思想认识有一定的升华。 周记是对个人和某个团体一周的所见、所闻、所思、所感、所惑、所获的记录。还可以写一件在这一周里让你有所感触的事。
SMESUN.COM 作用
从学生角度来说，周记用来了解学生的思想动态，学习情况，答疑解惑，并通过周记的形式而置一些跟教育主题有关的主题作文，提高学生的认识，从而在全班范围内形成正确、积极、健康的舆论环境，并为主题班会准备材料，提高同学们参与的积极性。
从老师的角度来说，周记用来回顾一周的得失，提出经验教训，让班主任对班上情况有一个更加详细和全面的了解，提高工作的针对性和准确性。老师除了用来了解同学一周发生的事情外，还用来锻炼同学的文章水平，使同学文章水平得以提高。
SMESUN.COM 格式
周记的题目(写作范围：读后感;见闻;趣事;数学周记......)
1.记事
2.自评(优，缺)
3.解决措施
4.下周计划
5.自己的所见所闻所感
其实周记并没有一种标准的格式，只需要同学们每周把自己的所看到的、听到的、想到的、经历的东西记下来，形成的文字片断或一篇文章，一周写一则就可以了。
SMESUN.COM 怎么写周记
不少同学又开始问了，周记怎么写?小学初中周记开头怎么写?
如果是一个片断，将事情写清、将要表达的意思表达完整就行了，当然，时间充裕，你可以将前因后果，你的想法补充完整，形成一篇文章。不论无论，周记没有什么特殊规定的格式，跟我们平时说话写文章一样，要求就是条理清楚地说清一件事、一个想法。
周记的关键是要真，真事、真情、真想，不要虚构。用力表达你正经历的、正思考的事，对提高你的写作能力是有帮助的，不要当作负担，也不要觉得有任何压力，因为真的，只要排列一下就行了。
同时，周记交给老师后，也可让老师来了解你的生活、你的想法，或许对你有帮助。
去年也谈过周记怎么写，转到下面，大家再看看。
老师布置了周记作业，怎么写呢?许多同学发了愁。
其实周记也好，日记也好，都是要写一段时间内印象最深的事。周记就是本星期内的事。
回想一下这个星期发生了什么，在学习上有什么问题，班级里有什么新鲜事，和朋友老师间关系如何，这些都可以写，和日记相比周记可以写的内容更多了，需要突出一两个重点。
如果大脑里立刻就想起一二件事情，记忆深刻，那么恭喜，你就有材料了，将它们的前因后果，事情经过，个人感想写清楚吧。
有人会问：不好意思，一想到过去的几天，我印象里只记得吃了一次大餐，或者只记得被老师骂了一顿，或者跟同学闹别扭心里不爽，这些都没有重要意义，怎么能写呢?告诉你，既然你想到了，就说明是值得写的。有意义的事情，不一定非得是意义重大，思想崇高，自己的生活琐事，也是值得一写的，只要你写出你的感受。我们每天的日子不都是这些细小的沙子一样的事情组成的吗?这些沙子，串起了我们的欢笑，串起了我们的忧愁，串起了我们的无聊，引领着我们一天天，不知不觉地在长大。
更有一些同学说，这个周最无味，什么也没有发生，没什么可写的。再想想，再想想，多个心眼，仔细观察，你会找到的。